힐링에세이 - 무한 ep3. 실무한

무한히 늘어나는 직선을 떠올릴 수 있을까?

유한한 선분을 끝없이 쪼개는 것을 상상할 수 있을까?

Infinity, Ruben Choi (2020) 어디서부터 어디까지인가?

 

실무한

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아리스토텔레스 이후 신의 영역으로 남겨진 실무한에 처음 가까이 다가간 사람은 갈릴레오였다.

 

"살비아티는 모든 정수와 그 제곱수를 1대 1로 대응시키고 이렇게 말한다. 우리는 정수만큼 많은 제곱수가 존재한다는 결론을 내리지 않을 수 없다."
-애머 액젤, 무한의 신비:수학, 철학, 종교의 만남, (승산, 2002), p68

 

갈릴레오는 무한의 이산적 discrete형태-무한하면서도 여전히 셀 수 있는 형태-를 언급했다."
-애머 액젤, 무한의 신비:수학, 철학, 종교의 만남, (승산, 2002), p72

 

즉, 갈릴레오는 무한하면서도 셀 수 있는 가산무한집합(혹은 가부번집합)*1을 찾았다.

좀 더 쉬운 예로는 힐베르트 무한 호텔이 있는데, 객실이 무한 개인 호텔을 상상해 보자.

이 호텔의 무한한 객실이 만실일 때 새로운 손님이 오면,

모든 기존 손님들에 대해 k호실 손님을 k+1호실로 옮기고

마지막으로 남은 1번 방에 새로운 손님을 받을 수 있다.

셀 수 있는 가부번집합의 매핑, 즉 일대일 대응 속성을 이용해 무한 집합의 특성을 보여주는 재미난 예다.

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뒤이어 볼차노는 셀 수 있는 집합에서 더 나아가

실수와 같은 연속체 무한 집합에 대해서도

이러한 특성이 계속된다는 것을 발견했다.

 

"볼차노는 y=2x 직선을 그려, 정의역(x) 공간 0부터 1까지의 무수한 수들이 치역(y) 공간 0부터 2 사이에 모두 대응되는 것을 발견했다. 즉, 0과 1 사이에는, 그보다 길이가 두 배인 0과 2 사이에 존재하는 수만큼 많은 수가 있다."
-애머 액젤, 무한의 신비:수학, 철학, 종교의 만남, (승산, 2002), p76

 

전체는 부분과 같을 수......

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우리의 직관으로는 전체가 부분과 같을 수 없다.

그러나 무한의 속성은 전체가 부분과 같을 수 있다.

정수의 수가 (정수의 부분 집합인) 홀수의 수와 같다.

멋진 말로 이것을 무한의 역설적 본질이라고 한다.

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여전히 꺼림직하다. 어딘가 오류가 있을 것만 같은데, 가령 용어의 문제라든지......

정수의 개수가 홀수의 개수와 같다고 할 때, 이 개수란 말이 무한에도 해당될 수 있을까?

집합의 크기 또는 농도는 유한집합일 경우 자연수로 나타낼 수 있지만 무한집합일 때는 기수(알레프)를 사용한다.

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농도가 같다는 말은 매핑된다는 의미이다.

앞서 자연수 무한 집합이 홀수 무한 집합에 매핑되므로 두 무한 집합의 농도는 같다.

더 나아가 자연수 무한 집합이 짝수, 정수, 유리수 무한 집합에 매핑되므로 그것들의 농도는 같다.

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무리수로 넘어가면 농도는 달라진다.

즉 자연수 무한 집합과 실수 무한 집합의 크기는 다르다. (알레프0 vs. 알레프1)

그런데 실수 무한 집합만 떠올리면서 볼차노의 y=2x를 생각해보면

여전히 전체는 부분과 같을 수 있다.

(크기가 다르더라도) 무한 집합의 전체는 부분과 같을 수 있다.

​......!

우리의 직관이 산산조각났다.

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무릇 무한의 속성만 그런 것이 아니다.

예를 들어 상대성 이론을 보자면,

나는 소싯적 공부를 싫어하여 나이가 들어서야 상대성 이론의 기초 개념을 알게됐는데,

우리가 사는 세계에서 시간은 시간대로 흐르고 공간은 밟고 살아가는 것으로만 생각해왔던 내게,

3차원 공간에 연결된 4차원으로서 시간, 즉 시공간 개념은 마치 내가 실존하는가? 만큼 깊은 혼돈으로 다가왔다.

물론 현실에 달라지는 것은 없다. 여전히 뉴튼 법칙만 알고도 평범한 사람들은 먹고 살만 하다.

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다만 해석과 관점의 문제다.

이 세계를 어떻게 해석하고 바라볼 것인가?

그런 관점에서 무한의 신비는 우리의 직관을 뭉개면서

또다시 나를 겸손하게 만든다.

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주석

*1. 가부번집합의 기수(무한집합의 크기/농도)는 알레프 제로이다.

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참고문헌

애머 액젤, 무한의 신비:수학, 철학, 종교의 만남, (승산, 2002)

무한의 신비